Оглавление
1. Содержание учебного предмета ......................................................................................... 3
2.
Планируемые результаты освоения учебного предмета .............................................. 3
3.
Тематическое планирование.............................................................................................. 6
4. Проверяемые требования к результатам освоения основной образовательной
программы .................................................................................................................................. 10
5.
Проверяемые элементы содержания .............................................................................. 11
6. Проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования .......................... 11
7.
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ по математике ................ 14
2
1. Содержание учебного предмета
Учебный курс «Вероятность и статистика»
10 КЛАСС
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое,
медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное
отклонение числовых наборов.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события
(исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности событий.
Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями. Вероятности событий
в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента.
Формула полной вероятности. Независимые события.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний.
Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания.
Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия независимых испытаний
Бернулли.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Примеры распределений, в том числе, геометрическое и биномиальное.
11 КЛАСС
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического ожидания, в
том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных величин.
Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального распределений.
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод
исследований.
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения.
Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о нормальном
распределении.
2. Планируемые результаты освоения учебного предмета
Личностные:
В результате изучения математики на уровне среднего общего образования у
учащегося будут сформированы следующие личностные результаты:
Гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного члена российского общества, представление о математических основах
функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(выборы, опросы и другое), умение взаимодействовать с социальными институтами в
соответствии с их функциями и назначением;
Патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и
настоящему российской математики, ценностное отношение к достижениям российских
математиков и российской математической школы, использование этих достижений в
других науках, технологиях, сферах экономики;
Духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим применением
достижений науки и деятельностью ученого, осознание личного вклада в построение
3
устойчивого будущего;
Эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость к
математическим аспектам различных видов искусства;
Физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового
и безопасного образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое
питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность),
физическое совершенствование при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
Трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и ее приложениями, умение
совершать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные
жизненные планы, готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному участию в решении
практических задач математической направленности;
Экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной среды, осознание
глобального характера экологических проблем, ориентация на применение математических
знаний для решения задач в области окружающей среды, планирование поступков и оценки
их возможных последствий для окружающей среды;
Ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню
развития науки и общественной практики, понимание математической науки как сферы
человеческой деятельности, этапов ее развития и значимости для развития цивилизации,
овладение языком математики и математической культурой как средством познания мира,
готовность осуществлять проектную и исследовательскую деятельность индивидуально и
в группе.
Метапредметные:
Овладение универсальными учебными познавательными действиями
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий,
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и
от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учетом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать
4
вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное,
формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по
установлению особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению
зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведенного
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и
обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для
решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
структурировать информацию, представлять ее в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать надежность информации по самостоятельно сформулированным
критериям.
Овладение универсальными учебными коммуникативными действиями
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных
текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои
суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта,
самостоятельно выбирать формат выступления с учетом задач презентации и особенностей
аудитории.
Овладение универсальными учебными регулятивными действиями
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учетом
имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учетом новой информации.
Самоконтроль, принятие себя и других:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий
и мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки,
самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку
приобретенному опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать
организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать
процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
5
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, "мозговые
штурмы" и иные), выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими
членами команды, оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
Предметные:
10 КЛАСС
читать и строить таблицы и диаграммы;
оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее,
наименьшее значение, размах массива числовых данных;
оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности в
опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности
событий в изученных случайных экспериментах;
находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий,
событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и
формулой сложения вероятностей при решении задач;
оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить
вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта;
применять комбинаторное правило умножения при решении задач; оперировать
понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача,
находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого успеха,
находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли;
оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения.
11 КЛАСС
сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с
помощью диаграмм;
оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как
применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое
ожидание по данному распределению; иметь представление о законе больших чисел; иметь
представление о нормальном распределении.
3. Тематическое планирование
Класс
Количество
Количество часов в год
часов в неделю Обязательная
Часть,
часть
формируемая
участниками
образовательных
отношений
10
1
34
11
1
34
-
Итого
34
34
10 класс
№
п/п
1.
Тема урока
Кол-во
часов
(обязат.
часть)
1
Представление данных с помощью таблиц и
диаграмм
ЭОР
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/25c6d12b
6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числовых наборов
Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числовых наборов
Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числовых наборов
Случайные эксперименты (опыты) и случайные
события. Элементарные события (исходы)
Вероятность случайного события. Вероятности
событий в опытах с равновозможными
элементарными событиями
Близость частоты и вероятности событий.
Вероятность случайного события. Практическая
работа
Операции над событиями: пересечение, объединение
событий, противоположные события. Диаграммы
Эйлера
Операции над событиями: пересечение, объединение
событий, противоположные события. Диаграммы
Эйлера
1
https://m.edsoo.ru/dd00738d
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/98645f6c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7c9033a8
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/347c1b78
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/64d75244
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/5e8fa94a
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/221c622b
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/cc10c1e2
1
Формула сложения вероятностей
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/3057365d
Условная вероятность. Умножение вероятностей.
Дерево случайного эксперимента
Условная вероятность. Умножение вероятностей.
Дерево случайного эксперимента
Условная вероятность. Умножение вероятностей.
Дерево случайного эксперимента
1
https://m.edsoo.ru/9a408d25
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/b1e76d3a
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/47fb6b11
1
Формула полной вероятности
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/15941bec
1
Формула полной вероятности
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/a9ec13c8
Формула полной вероятности. Независимые события
1
https://m.edsoo.ru/e3dd5ac9
1
Обобщающий урок
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/29dc6cb9
1
Комбинаторное правило умножения
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/2270cf70
1
Перестановки и факториал
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/d58ce6d1
1
Число сочетаний
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7904dfb0
Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и
неудача. Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до первого успеха
1
https://m.edsoo.ru/fa47998f
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/2e1f2368
1
Серия независимых испытаний Бернулли
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/e9572a68
7
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Серия независимых испытаний. Практическая
работа с использованием электронных таблиц
1
https://m.edsoo.ru/f4a15a14
1
Случайная величина
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/639be9aa
Распределение вероятностей. Диаграмма
распределения
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/6dc7ff39
1
Сумма и произведение случайных величин
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/51b7ed5f
1
Сумма и произведение случайных величин
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/c2757cc3
Примеры распределений, в том числе
геометрическое и биномиальное
Примеры распределений, в том числе
геометрическое и биномиальное
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/91e08061
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/5afff05f
Повторение, обобщение и систематизация знаний
Повторение, обобщение и систематизация знаний
Повторение, обобщение и систематизация знаний
Повторение, обобщение и систематизация знаний
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/0f4d3cd7
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/e01a3dc4
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/a985ae79
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/1ddca5e0
11 класс
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тема урока
Повторение, обобщение, систематизация знаний.
Случайные опыты и вероятности случайных
событий. Серии независимых испытаний
Повторение, обобщение, систематизация знаний.
Случайные опыты и вероятности случайных
событий. Серии независимых испытаний
Числовые характеристики случайных величин:
математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение.
Числовые характеристики случайных величин:
математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение.
Примеры применения математического ожидания
(страхование, лотерея)
Математическое ожидание бинарной случайной
величины.
Математическое ожидание суммы случайных
величин
Математическое ожидание геометрического и
биномиального распределений
Математическое ожидание геометрического и
биномиального распределений
Кол-во
часов
(обязат.
часть)
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/430d330a
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/a573a292
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/07a5e861
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/32bc29bf
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/ea27084d
1
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/0adefe9e
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/20de2fc2
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/17b0e769
1
Дисперсия и стандартное отклонение
ЭОР
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/bcc67f76
8
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
1
Дисперсия и стандартное отклонение
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/bf78aad6
Дисперсии геометрического и биномиального
распределения
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и
обществе. Выборочный метод исследований
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и
обществе. Выборочный метод исследований
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
1
https://m.edsoo.ru/4b5a495e
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/a53cd884
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/94ddc34a
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/cf23b369
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/6c1d11a6
1
Обобщающий урок
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7e379f8f
Примеры непрерывных случайных величин.
Функция плотности распределения. Равномерное
распределение и его свойства
Примеры непрерывных случайных величин.
Функция плотности распределения. Равномерное
распределение и его свойства
Задачи, приводящие к нормальному распределению.
Понятие о нормальном распределении.
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Описательная статистика
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Описательная статистика
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Опыты с равновозможными элементарными
событиями
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Опыты с равновозможными элементарными
событиями
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Вычисление вероятностей событий с применением
формул и графических методов (координатная
прямая, дерево, диаграмма Эйлера)
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Вычисление вероятностей событий с применением
формул и графических методов (координатная
прямая, дерево, диаграмма Эйлера)
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Вычисление вероятностей событий с применением
формул и графических методов (координатная
прямая, дерево, диаграмма Эйлера)
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Вычисление вероятностей событий с применением
формул и графических методов (координатная
прямая, дерево, диаграмма Эйлера)
9
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/9f5b423d
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/b1c2712e
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/97c19f59
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/1f1f9ad9
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/72953f4c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/b699ad0c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/3fcbacf9
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/538fd7cf
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/272910f5
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/dc9ad6ca
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/5964f277
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/e71debe4
30.
31.
32.
33.
34.
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Случайные величины и распределения
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Случайные величины и распределения
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Математическое ожидание случайной величины
Повторение, обобщение и систематизация знаний.
Математическое ожидание случайной величины
1
https://m.edsoo.ru/00b2efb3
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/1cc2df8f
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/aea1298c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/640a8ebf
1
Обобщающий урок
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/0fd6d597
4. Проверяемые требования к результатам освоения основной образовательной
программы
10 КЛАСС
Код проверяемого результата
Проверяемые предметные результаты освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
6
Теория вероятностей и статистика
6.1
Читать и строить таблицы и диаграммы
6.2
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее,
наименьшее значение, размах массива числовых данных
6.3
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное
событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить
вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать
вероятности событий в изученных случайных экспериментах
6.4
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных
событий, событие, противоположное данному событию; пользоваться диаграммами Эйлера
и формулой сложения вероятностей при решении задач
6.5
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события;
находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного
опыта
6.6
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
6.7
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия
испытаний, успех и неудача; находить вероятности событий в серии независимых
испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли
6.8
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения
11 КЛАСС
Код проверяемого результата
Проверяемые предметные результаты освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
5
Теория вероятностей и статистика
5.1
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению
или с помощью диаграмм
5.2
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры того,
как применяется математическое ожидание случайной величины, находить математическое
ожидание по данному распределению
5.3
Иметь представление о законе больших чисел
5.4
Иметь представление о нормальном распределении
10
5. Проверяемые элементы содержания
10 КЛАСС
Код Проверяемый элемент содержания
6
Теория вероятностей и статистика
6.1
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и
стандартное отклонение числовых наборов
6.2
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности
событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями. Вероятности
событий в опытах с равновозможными элементарными событиями
6.3
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
6.4
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
6.5
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
6.6
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия независимых
испытаний Бернулли
6.7
Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения. Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное
11 КЛАСС
Код Проверяемый элемент содержания
5
Теория вероятностей и статистика
5.1
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического ожидания, в
том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных величин.
Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального распределений
5.2
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный
метод исследований
5.3
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности
распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о нормальном
распределении
6. Проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
Код проверяемого требования
Проверяемые
требования
к
предметным
результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования
1
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение
формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, следствие,
свойство, признак, доказательство, равносильные формулировки; применять их; умение
формулировать обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры, использовать метод математической индукции; проводить доказательные
рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений;
умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов
11
и явлений и при решении задач, в том числе из других учебных предметов; умение
оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение
задавать и описывать графы различными способами; использовать графы при решении
задач
2
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с
целым показателем, корень натуральной степени, степень с рациональным показателем,
степень с действительным показателем, логарифм числа, синус, косинус и тангенс
произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; умение
использовать признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее
кратное, алгоритм Евклида при решении задач; знакомство с различными позиционными
системами счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных
выражений; умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая
прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия; умение задавать последовательности, в том числе с помощью рекуррентных
формул; умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряжённые комплексные
числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма записи комплексных чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь производить
арифметические действия с комплексными числами; приводить примеры использования
комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
3
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические уравнения и
неравенства, их системы; умение оперировать понятиями: тождество, тождественное
преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с
помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром;
применять уравнения, неравенства, их системы для решения математических задач и задач
из различных областей науки и реальной жизни
4
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность
функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции,
наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция,
асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить
асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения,
частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции;
умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную
для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций;
строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;
применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе
социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с
помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью
дифференциальных уравнений
5
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция, рациональная функция,
степенная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические
функции, показательная и логарифмическая функции; умение строить графики изученных
12
функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать графики для
изучения процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметови
задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости между величинами;
использовать свойства и графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с
параметрами; изображать на координатной плоскости множества решений уравнений,
неравенств и их систем
6
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты,
доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области
управления личными и семейными финансами); составлять выражения, уравнения,
неравенства и их системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать
правдоподобность результатов; умение моделировать реальные ситуации на языке
математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию
задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат
7
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение числового
набора; умение извлекать, интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические данные, в том
числе с применением графических методов и электронных средств; графически
исследовать совместные наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной
регрессии
8
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие,
вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с использованием
графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу
полной вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать
вероятности реальных событий; умение оперировать понятиями: случайная величина,
распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного,
показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных
распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы
выборочных исследований; умение приводить примеры проявления закона больших чисел
в природных и общественных явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание,
перестановка, число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности реальных
событий; составлять вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
9
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство,
отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трёхгранный угол,
скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей,
угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями,
расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между
плоскостями; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы
планиметрии; умение оценивать размеры объектов окружающего мира; строить
математические модели с помощью геометрических понятий и величин, решать связанные
с ними практические задачи
10
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед,
призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь
13
сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развёртка
поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара,
плоскость, касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника,
изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения, в том числе с
помощью электронных средств; умение применять свойства геометрических фигур,
самостоятельно формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновыватьили опровергать их; умение
проводить классификацию фигур по различным признакам, выполнять необходимые
дополнительные построения
11
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный
перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот, преобразование подобия,
подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при решении задач;
находить геометрические величины (длина, угол, площадь, объём) при решении задач из
других учебных предметов и из реальной жизни; умение вычислять геометрические
величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные
формулы и методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса,
цилиндра, площадь сферы; объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур
12
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор,
координаты точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на число,
разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное произведение, угол
между векторами; умение использовать векторный и координатный метод для решения
геометрических задач и задач других учебных предметов
13
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных процессов и явлений;
умение распознавать проявление законов математики в искусстве, умение приводить
примеры математических открытий российской и мировой математической науки
7. Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ по математике
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата
вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
14
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11 Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и
минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойстваи
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
15
